Définition

\(\triangleright\) Définition d'une famille libre:

Une famille de vecteurs \(\{u_1,u_2,...\}\subset E\) est libre si l'équation vectorielle \(x_1u_1+x_2u_2+...={{\overline O_E}}\) n'a qu'une seule solution \(x_1=x_2=...=0\)
Sinon \(\{u_1,u_2,....\}\) est liée

Propriétés

\(\triangleright\) Sous-famille d'une famille libre

Toute sous-famille d'une famille libre est aussi libre
Soit \(\{u_1,...u_n\}\) est libre .
\(\{u_{i1},....,u_{in}\}\subset\{u_1,...,u_m\}, (m\geq 1)\)
Supposons que $$\lambda_{i1}u_{i1}+....\lambda_{im}u_{im}=O_E$$
On trouve une representation non-triviale de $$O_E:\mu_1u_1+....+\mu_mu_m=0_E$$
On pose \(\mu _j=0\) si \(j\neq i_{1},...,i_k\)
\(\mu_j\lambda_e\) si non

\(\triangleright\) Famille libre et ajout d'un vecteur

Etant donnée \(F=Vect(u_1,.....u_n)\text{ famille libre }\subset E\), \(v\not \in F\) la famille \((u_1,...u_n,v)\) est aussi libre
Supposons que \((u_1,...u_n)\) est liée. Alors \(\exists \lambda_1,\lambda_n,\mu\in \Bbb R\)
$$\lambda_1u_1+....+\lambda u_n+\mu v=0_E$$
Si \(\mu =0\), alors \((u_1,....,u_n)\) est lié